Comparaison de deux suites

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au centième.

Une entreprise propose à un nouveau salarié deux options pour son salaire mensuel.

• Proposition n° 1 : il commence avec un salaire mensuel de \(1\,900\) € la première année, et son salaire augmente chaque année de \(100\) €.
  
• Proposition n° 2 : Il commence avec un salaire mensuel de \(1\,800\) € la première année et son salaire augmente de `3\%` tous les ans.
  

On note \(u_n\) son salaire mensuel la \(n\) -ième année avec la proposition n° 1 et \(v_n\) son salaire mensuel la \(n\) -ième année avec la proposition n° 2. Ainsi \(u_0=1\,900\) et   \(v_0=1\,800\) .

Partie A   Étude de la proposition n° 1

1. Calculer \(u_1\) , \(u_2\) et \(u_3.\)

2. Exprimer pour tout entier naturel \(n\) , `u_{n+1}` en fonction de `u_n.`

3. Quelle est la nature de la suite `(u_n)?`

4. Exprimer `u_n` en fonction de \(n.\)

Partie B   Étude de la proposition n° 2

1. Calculer \(v_1\) , \(v_2\) et  \(v_3.\)

2. Exprimer pour tout entier naturel \(n\) , \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n.\)

3. Quelle est la nature de la suite `(v_n)?`

4. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n.\)

Partie C   Comparaison des deux propositions

Avant de prendre sa décision, ce salarié décide d'utiliser un tableur afin de comparer  les deux options qui lui sont proposées.

1. Quelle formule doit-il saisir dans la cellule B3 et recopier vers le bas pour calculer les termes successifs de la suite `(u_n)` ?     

2. Quelle formule doit-il saisir dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour calculer les termes successifs de la suite `(v_n)` ?  

3. En utilisant l'assistant graphique de son logiciel, il obtient les deux courbes suivantes.

     a. Identifier chacune des deux courbes.

     b. Sachant qu'il ne projette pas de rester plus de dix ans dans cette entreprise, quelle option lui conseiller ?